知识点解析：有理函数的部分分式分解的基本概念与方法

有理函数是高等数学中的一类重要研究对象，高等数学中的很多问题，比如不定积分、定积分的计算，泰勒公式及幂级数的展开等一般都牵涉到有理函数的部分分式的分解，将有理函数分解成部分分式是求解这些问题的基础。

一、基本概念

设
并假定两个多项式之间没有公因式；则当分子多项式的次数n小于分母多项式的次数m时，即n<m时，则称该有理分式为真分式；当n≥m时，则称为假分式。对于假分式，总可以转化成一个多项式和一个真分式的和，且这种表示是唯一的。比如
根据多项式的因式分解理论，一般多项式在实数范围内都可以分解成为若干个一次因式或二次因式的乘积。比如，假设真分式的分母可以分解为其中
即所有因式关于变量x的次数之和等于被分解的多项式多项式的次数。这样，有理真分式就可以分解成由这些因式最高次幂到1次幂作为分母的，分子的次数比因式低一次的真分式之和。即有
并且把这样的一个分解过程就称之为有理分式的部分分式分解，其中的每项都称为有理分式的部分分式。比如

二、分解方法及举例

方法一：待定系数解方程组方法令部分分式的分子一次项系数或常数为待定常数，然后通过通分，利用等式两端相等，比较两端分子的系数，通过求解方程组得到各待定常数值。比如
于是有
由(2)-(3)式相减，可得C-D=-2，(3)-2*(4)，得-A+C=0，即A=C；代入(4)，得B+C+D=1，由(1)得D=1，所以C=-1，所以A=-1，从而有B=1。所以有【注】：以上分子系数的比较等式，也可以看成是两端同时乘以原分母多项式后，得到一个两端恒等的多项式；然后通过比较系数，得到一个关于待定常数的方程组，通过解方程组来得到各待定常数的值。 方法二：待定系数数值代入法这个方法前面的步骤与待定系数解方程组方法一样，只不过求解待定系数的方法不同。由于最终通分，或者去掉分母以后得到的多项式等式，关于x变量取任何值都恒成立。所以，可以考虑通过取一些特定的，可以简化恒等式的数值的方法来得到各待定的常数；或者通过变形两端等式，取特定的值，不经过复杂的通分与合并同类项的过程直接得到有关于待定系数的方程组。比如假设原有理分式可以分解成部分分式之和那么取x=0，等式也成立，于是有1=A+B+D  (1)两端同时乘以x，得取x→+∞的极限，则有0=0+B+C，即B+C=0  (2)两端同时乘以(x+1)²，有令x=-1，则有A=-1（3）；于是由(1)(3)可得B+D=2 (4)由(2)+(4)，有2B+C+D=2 (5)令x=1，则有由(5)乘以2减去（6），有B=1 所以由(4)得，D=1，由(2)得C=-1。即有A=-1,B=1,C=-1,D=1.从而得到与上面完全一样的结果。借助以上方法，再看一个例子：
两端乘以左边的分母，有
令x=1/2，有
令x=-1，则有
所以有相对于第一个待定系数法，这样的数值方法相对来说更简单和更直接。 方法三：待定系数求导数值代入法借助原等式，以及导数恒等式，然后借助特殊函数值相等的方法来得到一些相关的待定系数的等式。比如
两端乘以左边的分母后，有首先令x=0，有1=A+B+D；令x=-1，有A=-1。两端求导，有令x=-1，有2=-A+B，即B=1，可得D=1。令x=0，则有当然，也可以通过求更高阶导数的方法来比较系数。

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